Wie lösen Sie # x ^ 3 - 4x-2 = 0 #?

Antworten:

Verwenden Sie eine trigonometrische Methode, um Wurzeln zu finden:

#x_k = (4sqrt (3)) / 3 cos (1/3 cos ^ (- 1) ((3 sqrt (3)) / 8) + (2kpi) / 3) "" # zum #k = 0, 1, 2. #

Erläuterung:

#Farbe weiß)()#

#f (x) = x ^ 3-4x-2 #

#Farbe weiß)()#
Descriminant

Der Diskriminant #Delta# eines kubischen Polynoms in der Form # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d # wird durch die Formel gegeben:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

In unserem Beispiel # a = 1 #, # b = 0 #, # c = -4 # und # d = -2 #so finden wir:

#Delta = 0 + 256 + 0-108 + 0 = 148 #

Schon seit #Delta> 0 # diese kubik hat #3# Echte Nullen

Trigonometrische Lösung

Verwenden Sie einen Ersatz des Formulars #x = k cos theta #wählen # k # so dass der resultierende Ausdruck enthält # 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Lassen #k = (4sqrt (3)) / 3 #

Dann:

# 0 = x ^ 3-4x-2 #

# = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 4 k cos theta - 2 #

# = (64 sqrt (3)) / 9 cos ^ 3 theta - (16 sqrt (3)) / 3 cos theta - 2 #

# = (16 sqrt (3)) / 9 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 2 #

# = (16 sqrt (3)) / 9 cos 3 Theta - 2 #

Daher:

#cos 3 theta = 2 * 9 / (16 sqrt (3)) = (3 sqrt (3)) / 8 #

So:

# 3 theta = + -cos ^ (- 1) ((3 sqrt (3)) / 8) + 2kpi #

#theta = + -1 / 3 cos ^ (- 1) ((3 sqrt (3)) / 8) + (2kpi) / 3 #

#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) ((3 sqrt (3)) / 8) + (2kpi) / 3) #

Daher unterschiedliche Wurzeln:

#x_k = (4sqrt (3)) / 3 cos (1/3 cos ^ (- 1) ((3 sqrt (3)) / 8) + (2kpi) / 3) "" # zum #k = 0, 1, 2. #