Wie bewerten Sie # x ^ 9 + 1 #?

Antworten:

# x ^ 9 + 1 = (x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((pi) / 9) x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((3pi) / 9) x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((5 pi) / 9) x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((7 pi) / 9) x + 1) #

Erläuterung:

Der einfachste Weg, dies zu tun, ist wahrscheinlich die Verwendung der komplexen Arithmetik und der Formel von de Moivre:

# (cos theta + i sin theta) ^ n = cos n theta + i sin n theta #

Wir finden das die neun #9#die Wurzeln von #-1# sind:

#cos ((k pi) / 9) + i sin ((k pi) / 9) #

zum #k = + -1, + -3, + -5, + -7, 9 #

Um Faktoren mit reellen Koeffizienten zu finden, können wir die konjugierten Komplexpaare wie folgt paaren:

# (x - cos ((k pi) / 9) - i sin ((k pi) / 9)) (x - cos ((-k pi) / 9) - i sin ((- k pi) / 9) ) #

# = (x - cos ((k pi) / 9) - i sin ((k pi) / 9)) (x - cos ((k pi) / 9) + i sin ((k pi) / 9)) #

# = (x - cos ((k pi) / 9)) ^ 2 - (i sin ((k pi) / 9)) ^ 2 #

# = x ^ 2 - 2 cos ((k pi) / 9) x + 1 #

zum #k = 1, 3, 5, 7 #

Daher:

# x ^ 9 + 1 = (x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((pi) / 9) x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((3pi) / 9) x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((5 pi) / 9) x + 1) (x ^ 2 - 2 cos ((7 pi) / 9) x + 1) #