Wie lässt sich der Nenner von # 1 / (sqrt (2) + sqrt (3) + sqrt (5)) # rationalisieren?

Das ist eine sehr gute Frage!

Wenn es einfach wäre # 1 / (sqrta + sqrtb) #, würden wir das Konjugat verwenden,

und wir würden uns mit multiplizieren # (sqrta-sqrtb) / (sqrta-sqrtb) #.

Lass uns so etwas versuchen und sehen, ob es funktioniert. (Dies ist, was wir mit Problemen tun, die wir noch nicht gesehen haben. Probieren Sie etwas aus und schauen Sie, ob es funktioniert.)

# 1 / (sqrt (2) + sqrt (3) + sqrt (5)) = 1 / (sqrt (2) + (sqrt (3) + sqrt (5))) #

# = 1 / ([sqrt (2) + (sqrt (3) + sqrt (5))]) ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))])) / ([sqrt (2 ) - (sqrt (3) + sqrt (5))]) #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))]) / ([sqrt (2) + (sqrt (3) + sqrt (5)))] [sqrt (2) - (sqrt (3) + Quadrat (5))]) #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))]) / (2 - (sqrt (3) + sqrt (5)) ^ 2) #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))]) / (2 - (3 + 2sqrt (15) +5)) #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))]) / (-6 - 2sqrt (15)) #

Hat das geholfen? (Ja, das stimmt. Wir haben jetzt ein bekanntes Problem.

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))] [-6 + 2sqrt (15)]) / ([-6 - 2sqrt (15)) [- 6 + 2sqrt (15) ]) #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))] [-6 + 2sqrt (15)]) / (36-4 (15)) #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))] [-6 + 2sqrt (15)]) / -24 #

# = ([sqrt (2) - (sqrt (3) + sqrt (5))] [3 - sqrt (15)]) / 12 #

Multiplizieren Sie den Zähler, wenn Sie möchten, um:

# = ([sqrt (2) -sqrt (3) -sqrt (5)) [3 - sqrt (15)]) / 12 #

# = ([sqrt (2) -sqrt (3) -sqrt (5)) [3 - sqrt (15)]) / 12 #

# = (3sqrt (2) -3sqrt (3) -3sqrt (5) - sqrt (30) + sqrt45 + sqrt75) / 12 #

# = (3sqrt (2) -3sqrt (3) -3sqrt (5) - sqrt (30) + 3sqrt5 + 5sqrt3) / 12 #

# = (3sqrt (2) + 2sqrt (3) - sqrt (30)) / 12 #

Ich habe mich entschlossen, meine Version zu Jim's als Demonstration hinzuzufügen oder vielleicht eine Warnung bezüglich der verschiedenen Formen, die das Ergebnis annehmen kann:
# 1 / (sqrt (2) + sqrt (3) + sqrt (5)) #

Betrachten Sie ein einfacheres Problem:
Wenn wir gebeten wurden, den Nenner von zu rationalisieren
# 1 / (x + sqrt (5)) #

Wir würden einfach sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Konjugat des Nenners multiplizieren

# 1 / (x + sqrt (5)) xx (x-sqrt (5)) / (x-sqrt (5)) #

# = (x-sqrt (5)) / (x ^ 2-5) #

In diesem Fall # x = (sqrt (2) + sqrt (3)) #
und das Ergebnis wäre

# = (sqrt (2) + sqrt (3) -sqrt (5)) / ((sqrt (2) + sqrt (3)) ^ 2-5 #

# = (Quadrat (2) + Quadrat (3) - Quadrat (5)) / (2 + 2 Quadrat (2) Quadrat (3) + 3-5) #

# = (sqrt (2) + sqrt (3) -sqrt (5)) / (2sqrt (2 * 3)) #

Um die Rationalisierung des Nenners abzuschließen, müssten wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit multiplizieren #sqrt (6) = sqrt (2 * 3) #

# (sqrt (2) + sqrt (3) - sqrt (5)) / (2sqrt (2 * 3)) xx sqrt (6) / sqrt (2 * 3) #

# = (sqrt (12) + sqrt (18) -sqrt (30)) / (2 (2 * 3)) #

# = (2sqrt (3) + 3sqrt (2) -sqrt (2 * 3 * 5)) / 12 #

Ich habe dieses Posting vermieden, da mich das Ergebnis stört, was darauf hindeutet, dass die Reihenfolge der Nenner-Terme im Ergebnis reflektiert wird. Dies sollte nicht zutreffen, aber ich konnte (noch) kein Endergebnis erzielen, bei dem die Begriffe austauschbar sind.

Antworten:

Ein allgemeinerer Nenner

Erläuterung:

Wenn wir den allgemeineren Nenner von verwenden
#sqrt (a) + sqrt (b) + sqrt (c) #

dann kommen wir zu einem Zähler von

# (a-b-c) sqrt (a) + (b-a-c) sqrt (b) + (c-a-b) sqrt (c) + 2sqrt (abc) #

und einen allgemeineren (rationalen) Nenner von

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-2 (ab + ac + bc) #

Die gleiche Arbeit, die wir für 2, 3 und 5 sehen, liefert dieses Ergebnis.

Im gegebenen Beispiel ist c = a + b, wodurch der Begriff, der enthalten wäre, eliminiert wird #sqrt (5) #. Darüber hinaus vereinfacht sich zu einem Zeitpunkt c = a + b die allgemeinere Lösung zu einem Zähler von

#bsqrt (a) + asqrt (b) -sqrt (ab (a + b)) #
und einen Nenner von 2ab.

Im konkreten Fall haben wir hier
# (3sqrt (2) + 2sqrt (3) -sqrt (30)) / 12 #