Wie bewerten Sie # 81r ^ 3 - 3t ^ 3 #?

# 81r ^ 3 - 3t ^ 3 = 0 # hat lösungen wann # (t / r) ^ 3 = 27 #, so # t / r = 3, 3 omega oder 3 omega ^ 2 #, woher #Omega# ist die komplexe Kubikwurzel von #1#, so # (3r - t) #, # (3 omega r - t) # und # (3 omega ^ 2 r - t) # sind alle Faktoren von # 81r ^ 3 - 3t #.

Wenn wir uns auf reelle Koeffizienten beschränken, ist der einzige lineare Faktor # (3r - t) #. Der andere (quadratische) Faktor hat die Form # (ar ^ 2 + brt + ct ^ 2) #. Wir könnten das mit berechnen #Omega#, aber lasst uns zur Vereinfachung bei reellen Zahlen bleiben ...

Versuchen wir es zu multiplizieren:
# (3r - t) (ar ^ 2 + brt + ct ^ 2) = 3ar ^ 3 + (3b - a) r ^ 2t + (3c - b) rt ^ 2 -ct ^ 3 #

Wenn wir die Koeffizienten mit dem ursprünglichen Polynom vergleichen, erhalten wir:
# 3a = 81 #
# 3b - a = 0 #
# 3c - b = 0 #
#c = 3 #

Daher #a = 27 #, #b = 9 # und #c = 3 #.

So # 81r ^ 3 - 3t ^ 3 = (3r - t) (27r ^ 2 + 9rt + 3t ^ 2) = 3 (3r - t) (9r ^ 2 + 3rt + t ^ 2) #.