Wie finden Sie die Wurzeln für #f (x) = 6x ^ 4 - 2x - 15 # mit dem Fundamentalsatz der Algebra?

Antworten:

Die FTOA sagt uns nur das #f (x) # hat #4# Nullen zählen Multiplizität.

Mit der Descartes-Vorzeichenregel können wir feststellen, dass sie zwei echte Nullen und ein Paar komplexer Nullen hat.

Erläuterung:

Der Fundamentalsatz der Algebra (FTOA) sagt Ihnen nur, wie viele Wurzeln ein Polynom hat - nicht wie man sie findet.

Insbesondere sagt die FTOA aus, dass jedes nicht-konstante Polynom in einer einzelnen Variablen mit komplexen (möglicherweise reellen) Koeffizienten eine komplexe (möglicherweise reelle) Null hat.

Eine einfache Folge davon, die oftmals als Teil der FTOA angegeben wird, besteht darin, dass ein einzelnes variables Polynom von Grad ist #n> 0 # hat genau # n # Nullen zählen Multiplizität.

In unserem Beispiel:

#f (x) = 6x ^ 4-2x-15 #

ist ein quartisches Polynom - d.h. #4#.

Die FTOA sagt uns also, dass es genau so ist #4# Nullen zählen Multiplizität.

Wir können Descartes 'Zeichenregel verwenden, um das herauszufinden #f (x) # hat genau eine positive reelle Null und eine negative Null. Es hat also auch ein komplexes konjugiertes Paar nicht realer komplexer Nullen.

Alle diese Nullen sind irrational und haben eine ziemlich chaotische radikale Form.

#Farbe weiß)()#
Durand-Kerner

Wir können numerische Näherungen für die Wurzeln mithilfe einer numerischen Methode wie der Durand-Kerner-Methode finden.

In diesem Beispiel können wir ein Programm wie dieses verwenden (in C ++ geschrieben):

und daher ungefähre Nullen finden:

# x_1 ~~ 1.30904 #

# x_2 ~~ -1.20363 #

#x_ (3,4) ~~ -0,0527043 + -1.25854i #

Weitere Informationen finden Sie unter http://socratic.org/s/aEgiJEsx.

#Farbe weiß)()#
Algebraische Methode

Da das gegebene Quartic keine Laufzeit hat # x ^ 3 # es hat eine Faktorisierung der Form:

# 6x ^ 4-2x-15 = 6 (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) #

#Farbe (weiß) (6x ^ 4-2x-15) = 6x ^ 4 + 6 (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + 6a (b-c) x + 6bc #

Gleichstellen der Koeffizienten von # x ^ 2 #, # x # und den konstanten Begriff finden wir:

# {(b + c = a ^ 2), (b-c = -1 / (3a)), (bc = -5/2):} #

Dann:

# (a ^ 2) ^ 2 = (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc = 1 / (9 (a ^ 2)) - 10 #

Daher bekommen wir eine Würfelform # a ^ 2 # lösen.

Aus den resultierenden Werten für #ein# wir können Ausdrücke für ableiten #b, c # und damit ein paar Quadrate zu lösen.

Unordentlich, aber funktioniert.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wie Gauß zu seiner Zeit tat, nahm er mit

#f (x) = 6 x ^ 4 - 2 x - 15 #

und machen

#f (u + i v) = - 2 u + 6 u ^ 4 - 36 u ^ 2 v ^ 2 + 6 v ^ 4 -15 + i (-2 v + 24 u ^ 3 v - 24 u v ^ 3) #

und die Kurven darstellen

# - 2 u + 6 u ^ 4 - 36 u ^ 2 v ^ 2 + 6 v ^ 4 -15 = 0 #
# -2 v + 24 u ^ 3 v - 24 u v ^ 3 #

Die Wurzeln können an den Schnittpunkten von Rot und Grün beobachtet werden