Wie finden Sie die Wendepunkte der Kurve y = e ^ (x ^ 2)? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

Keine, es ist konkav für # (- oo, oo) #.

Erläuterung:

Berechnen Sie die erste Ableitung.

#y '= 2xe ^ (x ^ 2) #

Die zweite Ableitung ergibt sich aus der Produktregel.

#y '' = 2 (e ^ (x ^ 2)) + 2x (2x) e ^ (x ^ 2) #

#y '' = 2e ^ (x ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

Wir müssen das auf setzen #0# und lösen, um Wendepunkte zu bestimmen.

# 0 = 2e ^ (x ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# 0 = 2e ^ (x ^ 2) (1 + 2x ^ 2) #

Wir sehen, das hat da keine Lösung # 2e ^ (x ^ 2)! = 0 # für alle Werte von # x #. Darüber hinaus heißt es in der zweiten Gleichung # 1 + 2x ^ 2 = 0 -> 2x ^ 2 = -1 -> x = sqrt (-1/2) #

Dies hat keinen echten Wert, also keine wirkliche Lösung für diese Gleichung. Dies bedeutet einfach die Funktion #y = e ^ (x ^ 2) # wird keine Wendepunkte haben (#y '' # ist in allen Bereichen positiv, konkav also # (- oo, oo) #). Wir können es sogar grafisch bestätigen.

Hoffentlich hilft das!

Antworten:

Im Prinzip durch zweimaliges Differenzieren, Setzen des Ergebnisses auf Null und Prüfen, ob das Ergebnis ein echter Wendepunkt ist. Diese Funktion hat jedoch keine Wendepunkte.

Erläuterung:

Differenzieren zweimal gibt #f '' (x) = 2x * 2xe ^ (x ^ 2) + 2 * e ^ (x ^ 2) #
# = 2e ^ (x ^ 2) (2x ^ 2 + 1) #
Dies kann niemals Null sein, da alle drei Begriffe des Produkts immer streng positiv sind

Meintest du #e ^ (- x ^ 2) #? Dies hat Wendepunkte, wenn # 2x ^ 2-1 = 0 #, das ist, # x = ± 1 / sqrt2 #

Sie sollten dann testen, ob die zweite Ableitung das Vorzeichen an diesen Punkten ändert, was eindeutig der Fall ist # 2x ^ 2-1 # ist eine durchlaufende Parabel # (± 1 / sqrt2,0) #und der exponentielle Ausdruck ist immer positiv.