Wie hält die Schwerkraft einen Planeten in einer Umlaufbahn um die Sonne?

Antworten:

In der Newtonschen Mechanik ist die Schwerkraft eine zentrale anziehende Kraft. Dann ziehen sich der Planet und die Sonne an.

Erläuterung:

In einem System mit Anfangsbedingungen mit Nullgeschwindigkeit werden die beiden Objekte zusammenfallen, da die Kraft den Planeten und die Sonne entlang einer Linie bewegt. Wenn der Planet eine Anfangsgeschwindigkeit mit einer Komponente hat, die orthogonal zur Linie zwischen dem Planeten und der Sonne ist, besteht die Möglichkeit, dass sich der Planet um die Sonne dreht. Insbesondere wird die Schwerkraft durch die Zentrifugalkraft ausgeglichen, die den Planeten umlaufend hält.

Wir können versuchen, das zu berechnen.
Die Gravitationskraft ist gegeben durch

# F_g = G (M_pM_s) / (r ^ 2) #

mit #G# die Gravitationskonstante, # M_p # die Masse des Planeten, #Frau# die Masse der Sonne und # r # der Abstand zwischen den beiden.

Die Zentrifugalkraft in Näherung eines im Kreis rotierenden Planeten beträgt

# F_c = M_pv ^ 2 / r #

woher # v # ist die Geschwindigkeit.

Der Rest der beiden ist:

# F_g = F_c #

#G (M_pM_s) / (r ^ 2) = M_pv ^ 2 / r #

#G (M_s) / r = v ^ 2 #

Ich ersetze die Werte für #G# und für die Masse der Sonne

# v ^ 2r = GM_s = 6,67 · 10 ^ (- 11) m ^ 3 / (s ^ 2 kg) * 1,989 * 10 ^ (30) kg #

# v ^ 2r = 13.26663 * 10 ^ (19) m ^ 3 / ("s" ^ 2) #

# v ^ 2r = 1,33 * 10 ^ (20) m ^ 3 / ("s" ^ 2) #.

Dies bedeutet, dass das Produkt zwischen dem Abstand und dem Quadrat der zum Ausgleich der Bewegung erforderlichen Geschwindigkeit konstant ist. Es ist interessant zu bemerken, dass es keine Abhängigkeit von der Masse des Planeten gibt. Die Entfernung der Planeten von der Sonne hängt also nur von der Geschwindigkeit ab.

Berechnen wir die Entfernung der Erde. Die Geschwindigkeit ist Raum geteilt durch Zeit. Die Länge eines Kreises um die Sonne (wir nähern uns der Umlaufbahn mit einem Kreis) ist # 2pir #. Die Zeit für einen Kreislauf ist #365# Tage und jeder Tag ist #24# Stunden und jede Stunde ist #60# Minuten und jede Minute ist #60# Sekunden. Die Geschwindigkeit ist also

# v = (2pir) / (365 * 24 * 60 * 60) #

# v = (2pir) /3.15*10^7#

Ich stecke dies in die Gleichung der Umlaufbahn ein:

# ((2pir) / (3,15 * 10 ^ 7)) ^ 2r = 1,33 * 10 ^ (20) #

# (4pi ^ 2r ^ 3) / (9,9225 * 10 ^ (14)) = 1,33 * 10 ^ (20) #

# r ^ 3 = (1,33 * 10 ^ (20) * 9,9225 * 10 ^ (14)) / (4pi ^ 2) #

# r ^ 3 = 0,33 * 10 ^ 34 = 3,3 * 10 ^ 33 #

# r = 1.489 * 10 ^ 11 "m" # das ist #148.9# Millionen von Kilometern.

Wenn wir auf Wikipedia die Entfernung der Erde von der Sonne suchen, haben wir 149,59787 Millionen Kilometer. Ziemlich knapp!