Wie finde ich den Grenzwert, wenn # x # sich der Unendlichkeit der Quadratwurzelfunktion nähert?

Antworten:

#lim_ (x-> oo) sqrt (x) = oo #

Erläuterung:

Intuitiv, da es keine Grenzen gibt, wie groß wir sein können #sqrt (x) # durch Erhöhen # x #Wir erwarten, dass das Limit so ist # x-> oo # von #sqrt (x) # wäre # oo #. In der Tat, wenn es eine solche Grenze gibt, sagen wir # x_0 #Dann würden wir zu einem Widerspruch kommen, als #sqrt (x_0 ^ 2 + 1)> sqrt (x_0 ^ 2) = x_0 #.

Wir können das Problem jedoch strenger angehen.


Wir sagen das die Grenze als # x-> oo # einer Funktion #f (x) # ist # oo # (abwechselnd #f (x) -> oo # wie # x-> oo #) bezeichnet #lim_ (x-> oo) f (x) = oo #wenn für jede ganze Zahl #N> 0 # Es gibt eine ganze Zahl #M> 0 # so dass #x> M # impliziert #f (x)> N #.

Weniger formal bedeutet das für jeden realen Wert, #f (x) # wird größer als dieser Wert für groß genug sein # x #.

Unser Anspruch ist das #lim_ (x-> oo) sqrt (x) = oo #. Beweisen wir es anhand der obigen Definition.


Nimm eine beliebige Zahl #N> 0 #, und lass # M = N ^ 2 #. Dann für jeden #x> M #, wir haben

#sqrt (x)> sqrt (M) = sqrt (N ^ 2) = N #

Wir haben das für jede ganze Zahl gezeigt #N> 0 # Es gibt eine ganze Zahl #M> 0 # so dass #x> M # impliziert #sqrt (x)> N #und beweist das #lim_ (x-> oo) sqrt (x) = oo #.


Die obige Methode kann tatsächlich verwendet werden, um das zu zeigen # x ^ k-> oo # wie # x-> oo # für jeden #k> 0 #. Beginnen wir mit einem beliebigen #N> 0 # und lass # M = N ^ (1 / k) #, dann für #x> M # wir haben # x ^ k> M ^ k = (N ^ (1 / k)) ^ k = N #. Wie #sqrt (x) = x ^ (1/2) #Dies ist nur ein besonderer Fall.