Wie finden Sie das zugehörige exponentielle Abklingmodell mit Q = 100, wenn t = 0 ist; Halbwertszeit = 6? - Precalculus - 2020

Anonim

Antworten:

Es ist #Q (t) = 100e ^ (- 0,115t) #.

Erläuterung:

Wir versuchen hier, das allgemeine Verfallsgesetz zu berechnen.

Wir haben eine erste Bevölkerung # Q_i # und nach einem Zeitintervall # Delta t # wir haben eine neue bevölkerung, # Q_f #, das war die anfängliche Bevölkerung mal die Konstante des Zerfalls (die wir nennen können) # Lambda #).

Mathematisch können wir das sagen

# Q_f-Q_i = -lambdaQ_i Deltat #.

Das negative Zeichen ist zu berücksichtigen, dass die Populationen am Ende kleiner sind als die Population am Anfang.

Wir können unsere Gleichungen als schreiben

# Delta Q = -lambda Q_i Deltat #.

Der wichtige Teil dieser Gleichung ist, dass sie gültig ist, egal wie groß das Zeitintervall ist. Wenn es eine Stunde ist, skaliert alles korrekt mit # -lambda Q_i # und das Endergebnis wird korrekt sein. Wenn die Zeit eine Nanosekunde ist, funktioniert es immer noch. Dann können wir die sofortige Änderung in der Bevölkerungsschreibung berücksichtigen

# dQ = -lambda Q dt #

Hier muss ich verwenden # Q # anstatt # Q_i # denn auch die Anfangsverteilung ändert sich kontinuierlich mit dem Zeitintervall. Zu jedem unendlich kleinen Zeitpunkt, an den ich denke, muss ich ihn anschließen # Q # Die neue Ausgangsverteilung, die unendlich weit von der vorherigen geändert wird.
Dann kann ich die Differentialgleichung schreiben

# (dQ) / dt = -Lambda Q #

bei dem die # Q # ist eine Funktion der Zeit.

Dies ist eine Differentialgleichung, die die Lösung hat

#Q (t) = Q_0e ^ (- lambdat) #.

Woher # Q_0 # ist die Bevölkerung zu Beginn der Zeit (wann # t = 0 #).

Jetzt können wir unsere Zahlen ersetzen. In Ihrem Fall # Q_0 = 100 #

Dann lautet die Gleichung #Q (t) = 100e ^ (- Lambda t) # und wir wissen auch, wann # t = 6 # Die Bevölkerung ist die Hälfte (dies ist die Definition der Halbwertszeit). Also haben wir

# 50 = 100e ^ (- lambda6) #

# 1/2 = e ^ (- lambda6) #

#ln (1/2) = - lambda6 #

# lambda = -ln (1/2) /6 ~ ungefähr0.115#

Dann ist das Gesetz

#Q (t) = 100e ^ (- 0,115t) # das ist das gesuchte Verfallsgesetz.