Wie finde ich Diskontinuität für eine Funktion?

Aus grafischer Sicht tritt eine Diskontinuität bei einer Funktion an jedem Punkt auf, an dem entweder ein Sprung, eine Asymptote oder ein "Loch" in der Grafik vorhanden ist. Aus analytischer Sicht tritt eine Diskontinuität auf, wenn eine der folgenden Situationen zutrifft:

  • Für einen bestimmten Punkt #ein# in der Domäne der Funktion (dh um # x = a #) #lim_ (x-> a ^ +) f (x)! = lim_ (x-> a ^ -) f (x) # (Das heißt, die Grenze der Funktion #f (x) # wie # x # Ansätze #ein# von rechts ist nicht gleich der Grenze als # x # Ansätze #ein# von links). Diese Situation wird typischerweise als a bezeichnet Sprungdiskontinuität oder Schritt Diskontinuität. Ein Beispiel für eine Funktion, bei der dies auftreten würde, wäre eine Funktion #g (x) # so definiert #g (x) = 0 # für alle #x <0 #, und #g (x) = 1 # für alle #x> = 0 #. Grafisch sehen wir die Funktion "Sprung" bei der Diskontinuität.
  • Alternativ ist es möglich, dass entweder das Limit für die rechte oder linke Hand (oder möglicherweise für beide) einfach nicht existiert oder unendlich ist. Diese Situationen werden als bezeichnet unendliche Diskontinuitäten oder wesentliche Diskontinuitäten (oder selten asymptotische Diskontinuitäten). In einer Grafik kann eine unendliche Diskontinuität durch die Funktion dargestellt werden, die zu geht # + - oo #oder durch die Funktion, die so schnell oszilliert, dass die Grenze nicht bestimmbar ist. Ein Beispiel wäre die Funktion # 1 / x ^ 2 #. Wie # x-> 0 # Von beiden Seiten geht die Grenze der Funktion auf # oo #. Für den zweiten Typ kann man in Betracht ziehen #sin (1 / (x-1)) #, die bald zu oszillieren beginnen, wenn wir uns nähern # x = 1 # aus beiden Richtungen, soweit wir die Grenze nicht definieren können, weil sich selbst die geringsten Veränderungen in unserem Bereich ergeben # x # Wert nahe # x = 1 # kann zu drastischen Veränderungen in unserer Funktion führen.
  • Schließlich gibt es die Situation, in der beide Grenzen existieren, nicht unendlich sind und einander gleich sind, jedoch nicht gleich dem Wert der Funktion #f (x) # am gegebenen Punkt. Diese Fälle werden als bezeichnet entfernbare Diskontinuitäten. Grafisch erscheinen diese im Diagramm der Funktion als "Loch".
  • In einigen Fällen für den Wert # x = a #, die Funktion werden noch definiert werden, ist aber einfach nicht gleich dem Grenzwert (z. B. eine als definierte Funktion) #h (x) = x # für alle #x! = 3 # und #h (x) = 0 # zum # x = 3 #.
  • In anderen Fällen ist die Funktion an dieser Stelle auch undefiniert. Während einige diese Fälle immer noch als entfernbare Diskontinuitäten klassifizieren, bestehen andere auf dem genaueren Begriff von entfernbare Singularität, da die Funktion an dieser Stelle nicht einfach diskontinuierlich ist, sondern nicht vorhanden ist. Ein Beispiel dafür wäre die Funktion #j (x) = x ^ 2 / x #. Durch einfache Unterteilung ähnelt dies der Funktion #j (x) = x #, aber die Funktion ist bei undefiniert # x = 0 # (schon seit #j (0) = 0/0 #, die undefiniert ist.