Ein Dreieck hat die Scheitelpunkte A, B und C. Der Scheitelpunkt A hat einen Winkel von # pi / 8 #, der Scheitelpunkt B hat einen Winkel von # (pi) / 12 # und die Fläche des Dreiecks ist # 6 #. Was ist die Fläche des Inkreises des Dreiecks?

Antworten:

Der Bereich des Inkreises ist # = 1.45u ^ 2 #

Erläuterung:

Die Fläche des Dreiecks ist # A = 6 #

Der Winkel # hatA = 1 / 8pi #

Der Winkel # hatB = 1 / 12pi #

Der Winkel # hatC = pi (1 / 8pi + 1 / 12pi) = 19 / 24pi #

Die Sinusregel ist

# a / (sin hat (A)) = b / sin hat (B) = c / sin hat (C) = k #

So,

# a = ksin hatA #

# b = ksin hatB #

# c = ksin hatC #

Lass die Höhe des Dreiecks sein # = h # vom Scheitelpunkt #EIN# zur gegenüberliegenden Seite # BC #

Die Fläche des Dreiecks ist

# A = 1 / 2a * h #

Aber,

# h = csin hatB #

So,

# A = 1 / 2ksin hatA * csin hatB = 1 / 2ksin hatA * ksin hatC * sin hatB #

# A = 1 / 2k ^ 2 * sin hatA * sin hatB * sin hatC #

# k ^ 2 = (2A) / (sin hatA * sin hatB * sin hatC) #

# k = sqrt ((2A) / (sin hatA * sin hatB * sin hatC)) #

# = sqrt (12 / (sin (1 / 8pi)) * sin (1 / 12pi) * sin (19 / 24pi))) #

#=14.11#

Deshalb,

# a = 14,11 sin (1 / 8pi) = 5,40 #

# b = 14,11 sin (1/12 pi) = 3,65 #

# c = 14,11 sin (19 / 12pi) = 8,59 #

Der Radius des Inkreises ist # = r #

# 1/2 * r * (a + b + c) = A #

# r = (2A) / (a + b + c) #

#=12/(17.64)=0.68#

Der Bereich des Inkreises ist

# area = pi * r ^ 2 = pi * 0,68 ^ 2 = 1,45u ^ 2 #