Wie finden Sie die horizontale Asymptote einer Kurve?

Um die horizontale Asymptote (im Allgemeinen einer rationalen Funktion) zu finden, müssen Sie die Grenzgesetze, die Definitionen der Grenzen im Unendlichen und den folgenden Satz verwenden: #lim_ (x-> oo) (1 / x ^ r) = 0 # ob # r # ist rational und #lim_ (x -> - oo) (1 / x ^ r) = 0 # ob # r # ist rational und # x ^ r # ist definiert.

Man erinnere sich an die Definition von Grenzen, dass wir nur Grenzen reeller Zahlen annehmen können und Unendlichkeit keine reelle Zahl ist, weshalb wir den vorherigen Satz brauchen.

Die Strategie für die Verwendung des Theorems besteht darin, jeden Ausdruck durch den Höchstwert von dem Nenner zu trennen. Dies sollte uns mit einem Polynom im Zähler oder einer Konstanten verlassen. Wenn wir ein Polynom haben, gibt es keine horizontale Asymptote. Wenn wir eine Konstante haben, ist y = konstant unsere horizontale Asymptote.

Zum Beispiel:

#lim_ (x -> oo) (3x ^ 2-4x + 8) / (7x ^ 2 + 5x-9) #

Wir haben jedes Semester durch geteilt # x ^ 2 #.

# = lim_ (x -> oo) (3x ^ 2 / x ^ 2-4x / x ^ 2 + 8 / x ^ 2) / (7x ^ 2 / x ^ 2 + 5x / x ^ 2-9 / x ^) 2) #

Verwenden Sie jetzt unsere Grenzgesetze.

# = (lim_ (x-> oo) 3x ^ 2 / x ^ 2-lim_ (x-> oo) 4x / x ^ 2 + lim_ (x-> oo) 8 / x ^ 2) / (lim_ (x-) > oo) 7x ^ 2 / x ^ 2 + lim_ (x-> oo) 5x / x ^ 2-lim_ (x-> oo) 9 / x ^ 2) #

Vereinfachen Sie jetzt.

# = (lim_ (x-> oo) 3-lim_ (x-> oo) 4 / x + lim_ (x-> oo) 8 / x ^ 2) / (lim_ (x-> oo) 7 + lim_ (x -> oo) 5 / x-lim_ (x -> oo) 9 / x ^ 2) #

Verwenden Sie zum Schluss den Satz und das Grenzgesetz einer Konstanten.

#=(3-0+0)/(7+0-0)#

#=3/7#

In diesem Fall haben wir also eine horizontale Asymptote von # y = 3/7 #.

Wenn wir am Ende wären # -4x ^ 2 + 11x-12 # Im Zähler würde dann keine horizontale Asymptote vorhanden sein, da die Funktion negativ wächst.

Der Satz @ # -oo # hat eine extra Bedingung da # x ^ r # muss definiert werden, das heißt wenn # r # ist rational, dann muss der Nenner ungerade sein. Wenn Sie vergessen haben, #sqrt (-2) # ist nicht definiert.

Dies ist die allgemeine Strategie, offensichtlich schwierigere Fragen können eingerahmt werden, und Sie sollten Ihr Lehrbuch für diese Beispiele lesen.