Ein Dreieck hat Ecken bei # (6, 4) #, # (8, 2) # und # (3, 6) #. Was ist die Fläche des umschriebenen Kreises des Dreiecks?

Antworten:

# "Area" = 533 / 2pi #

Erläuterung:

Die kartesische Standardform für die Gleichung eines Kreises lautet:

# (x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 "[1]" #

woher # (x, y) # ist irgendein Punkt auf dem Kreis, # (h, k) # ist der Mittelpunkt und # r # ist der Radius.

Die Punkte #(6,4)#, #(8,2)#, und #(3,6)# muss auf dem umschriebenen Kreis liegen, daher können wir diese Punkte verwenden, um 3 eindeutige Gleichungen zu schreiben:

# (6-h) ^ 2 + (4-k) ^ 2 = r ^ 2 "[2]" #
# (8-h) ^ 2 + (2-k) ^ 2 = r ^ 2 "[3]" #
# (3-h) ^ 2 + (6-k) ^ 2 = r ^ 2 "[4]" #

Erweitern Sie die Quadrate:

# 36-12h + h ^ 2 + 16-8k + k ^ 2 = r ^ 2 "[2.1]" #
# 64-16h + h ^ 2 + 4-4k + k ^ 2 = r ^ 2 "[3.1]" #
# 9-6h + h ^ 2 + 36-12k + k ^ 2 = r ^ 2 "[4.1]" #

Ziehen Sie die Gleichung [4.1] von der Gleichung [2.1] ab:

# 7-6h + 4k = 0 "[5]" #

Gleichung [4.1] von Gleichung [3.1] subtrahieren:

# 23-10h + 8k = 0 "[6]" #

Multipliziere Gleichung [5] mit -2 und addiere sie zu Gleichung [6]:

# 9 + 2h = 0 #

#h = -9 / 2 #

Ersatz #h = -9 / 2 # in Gleichung [5] und lösen Sie dann nach # k #:

# 7-6 (-9/2) + 4k = 0 #

# 34 + 4k = 0 #

#k = -17 / 2 #

Ersatz #h = -9 / 2 # und #k = -17 / 2 # in Gleichung [2] und die Lösung für # r ^ 2 #:

# (6 + 9/2) ^ 2 + (4 + 17/2) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12/2 + 9/2) ^ 2 + (8/2 + 17/2) ^ 2 = r ^ 2 #

# (21/2) ^ 2 + (25/2) ^ 2 = r ^ 2 #

# r ^ 2 = 533/2 #

Die Fläche des Kreises ist:

# "Area" = pir ^ 2 #

# "Area" = 533 / 2pi #