Wie finden Sie die Grenze von # (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) #, während x sich # oo # nähert?

Antworten:

Machen Sie ein wenig Factoring und stornieren Sie, um zu bekommen #lim_ (x -> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Erläuterung:

An Grenzen der Unendlichkeit besteht die allgemeine Strategie darin, die Tatsache zu nutzen, dass #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Normalerweise heißt das, ein zu berücksichtigen # x #was wir hier machen werden.

Beginnen Sie mit einem Factoring # x # aus dem Zähler und ein # x ^ 2 # aus dem Nenner:
# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) #
# = (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Das Problem ist jetzt mit #sqrt (x ^ 2) #. Es ist gleichbedeutend mit #abs (x) #, das ist eine stückweise Funktion:
#abs (x) = {(x, "für", x> 0), (- x, "für", x <0):} #

Da dies eine Grenze bei positiver Unendlichkeit ist (#x> 0 #), werden wir ersetzen #sqrt (x ^ 2) # mit # x #:
# = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Jetzt können wir das abbrechen # x #s:
# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

Und endlich sehen, was passiert # x # geht zu # oo #:
# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

weil #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, das ist gleich:
# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #
# = 8 / sqrt (49) #
#=8/7#