Wie zeigen Sie, ob das falsche Integral #int (79 x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # von negativer Unendlichkeit zu Unendlichkeit konvergiert oder davon abweicht?

Antworten:

Ich würde durch trigonometrische Substitution integrieren und dann überprüfen, ob das Limit existiert.

Erläuterung:

Wir können also einen konstanten Faktor herausnehmen # int_-oo ^ oo (79x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # Wenn und nur dann, wenn # int_-oo ^ oo (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # konvergiert.

#int (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx = 1 / 9tan ^ -1 (x ^ 3/3) #

Wie # xrarroo #, wir haben # tan ^ -1 (x ^ 3/3) rarr pi / 2 # (und wie # xrarr-oo #, wir haben # tan ^ -1 (x ^ 3/3) rarr -pi / 2 #so beide

# int_-oo ^ 0 (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # und # int_0 ^ oo (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # konvergieren.

Deshalb, # int_-oo ^ oo (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # konvergiert.