Ein Dreieck hat die Scheitelpunkte A, B und C. Der Scheitelpunkt A hat einen Winkel von # pi / 8 #, der Scheitelpunkt B hat einen Winkel von # (pi) / 12 # und die Fläche des Dreiecks ist # 8 #. Was ist die Fläche des Inkreises des Dreiecks?

Antworten:

Der Bereich des Inkreises ist # = 1.94u ^ 2 #

Erläuterung:

Die Fläche des Dreiecks ist # A = 8 #

Der Winkel # hatA = 1 / 8pi #

Der Winkel # hatB = 1 / 12pi #

Der Winkel # hatC = pi (1 / 8pi + 1 / 12pi) = 19 / 24pi #

Die Sinusregel ist

# a / sinA = b / sinB = c / sinC = k #

So,

# a = ksinA #

# b = ksinB #

# c = ksinC #

Lass die Höhe des Dreiecks sein # = h # vom Scheitelpunkt #EIN# zur gegenüberliegenden Seite # BC #

Die Fläche des Dreiecks ist

# A = 1 / 2a * h #

Aber,

# h = csinB #

So,

# A = 1 / 2ksinA * csinB = 1 / 2ksinA * ksinC * sinB #

# A = 1 / 2k ^ 2 * sinA * sinB + sinC #

# k ^ 2 = (2A) / (sinA * sinB * sinC) #

# k = sqrt ((2A) / (sinA * sinB * sinC)) #

# = sqrt (16 / (sin (pi / 8) * sin (pi / 12) * sin (19 / 24pi))) #

#=4/0.246=16.29#

Deshalb,

# a = 16,29sin (1 / 8pi) = 6,23 #

# b = 16,29sin (1 / 12pi) = 4,22 #

# c = 16,29sin (19 / 24pi) = 9,92 #

Der Radius des In-Kreises ist # = r #

# 1/2 * r * (a + b + c) = A #

# r = (2A) / (a + b + c) #

#=16/(20.37)=0.79#

Der Bereich des Inkreises ist

# area = pi * r ^ 2 = pi * 0,79 ^ 2 = 1,94u ^ 2 #