Wie findet man die Länge der Polarkurve # r = cos ^ 3 (Theta / 3) #?

Antworten:

Verwenden Sie die Kettenregel.

Erläuterung:

Nach Kettenregel,

# {dr} / {theta} = 3cos ^ 2 (theta / 3) cdot [-sin (theta / 3)] cdot1 / 3 #

ein bisschen aufräumen,

# = - cos ^ 2 (Theta / 3) sin (Theta / 3) #

Betrachten wir zunächst die Kurve # r = cos ^ 3 (Theta / 3) #, was so aussieht:

Beachten Sie, dass # theta # geht von #0# zu # 3pi # um die Schleife einmal zu beenden.

Lassen Sie uns jetzt die Länge finden # L # der Kurve.

# L = int_0 ^ {3pi} sqrt {r ^ 2 + ({dr} / {d theta}) ^ 2} d theta #

# = int_0 ^ {3pi} sqrt {cos ^ 6 (theta / 3) + cos ^ 4 (theta / 3) sin ^ 2 (theta / 3)} d theta #

durch Ziehen # cos ^ 2 (Theta / 3) # aus der Quadratwurzel heraus,

# = int_0 ^ {3pi} cos ^ 2 (theta / 3) sqrt {cos ^ 2 (theta / 3) + sin ^ 2 (theta / 3)} d theta #

durch # cos ^ 2theta = 1/2 (1 + cos2theta) # und # cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 #,

# = 1 / 2int_0 ^ {3pi} [1 + cos ({2theta} / 3)] dtheta #

# = 1/2 [theta + 3 / 2sin ({2theta} / 3)] _ 0 ^ {3pi} #

# = 1/2 [3pi + 0- (0 + 0)] = {3pi} / 2 #

Ich hoffe, das war hilfreich.