Wie kann man # 4x ^ 2 + 49y ^ 2 + 294y + 245 = 0 # darstellen?

Antworten:

Verwenden Sie die Diskriminante, um die Gleichung als Ellipse zu identifizieren
Füllen Sie die Felder aus, um das Standardformular zu erhalten

Erläuterung:

Im Abschnitt [Allgemeines kartesisches Formular] (http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section)#General_Cartesian_form) # Wir finden die Gleichung:

# Axt ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

Wir beobachten das für die Gleichung # 4x ^ 2 + 49y ^ 2 + 294y + 245 = 0 #:

# A = 4, B = 0, C = 49, D = 0, E = 294 und F = 245 #

In dem Abschnitt [Diskriminant] (http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section)#Discriminant) # uns wird gesagt, dass die:

# "Diskriminanz" = B ^ 2-4AC #

Ersatz # B = 0, A = 4 und C = 49 #

# "Diskriminanz" = 0 ^ 2-4 (4) (49) #

# "Diskriminanz" = -784 #

Der gleiche Abschnitt sagt uns, dass wenn die Diskriminante negativ ist und #A! = C #Dann ist der konische Abschnitt eine Ellipse, daher müssen wir die Gleichung an eine von zwei Standardformen anpassen:

# (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1, a> b "[1]" #

# (y-k) ^ 2 / a ^ 2 + (x-h) ^ 2 / b ^ 2 = 1, a> b "[2]" #

In beiden Fällen müssen wir die Quadrate mit den Mustern vervollständigen. # (x-h) ^ 2 = x ^ 2-2hx + h ^ 2 # und # (y-k) ^ 2 = y ^ 2-2ky + k ^ 2 #.

Von beiden Seiten 245 abziehen:

# 4x ^ 2 + 49y ^ 2 + 294y = -245 #

Die Tatsache, dass # D = 0 # sagt uns das #h = 0 #

# 4 (x-0) ^ 2 + 49y ^ 2 + 294y = -245 #

weil # C = 49 #multiplizieren wir das Muster für die y-Terme mit 49:

# 49 (y-k) ^ 2 = 49y ^ 2-98ky + 49k ^ 2 #

Dies sagt uns, dass wir hinzufügen müssen # 49k ^ 2 # zu beiden Seiten der Gleichung:

# 4 (x-0) ^ 2 + 49y ^ 2 + 294y + 49k ^ 2 = -245 + 49k ^ 2 #

Wir können den Wert von k finden, indem wir den mittleren Term auf der rechten Seite des Musters gleich dem mittleren Term in der Gleichung setzen:

# -98ky = 294y #

#k = -3 #

Setzen Sie die linke Seite des Musters in die linke Seite der Gleichung ein und ersetzen Sie sie # 49k ^ 2 = 441 # in die rechte Seite der Gleichung:

# 4 (x-0) ^ 2 + 49 (y- (-3)) ^ 2 = -245 + 441 #

Vereinfachen Sie die rechte Seite:

# 4 (x-0) ^ 2 + 49 (y- (-3)) ^ 2 = 196 #

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 196:

# (x-0) ^ 2/49 + (y- (-3)) ^ 2/4 = 1 #

Schreibe die Nenner als Quadrate:

# (x-0) ^ 2/7 ^ 2 + (y- (-3)) ^ 2/2 ^ 2 = 1 #

Das Folgende ist die Grafik:

Graph {(x-0) ^ 2/7 ^ 2 + (y- (-3)) ^ 2/2 ^ 2 = 1 [-7,51, 8,294, -6,807, 1,09]}

Das Zentrum ist der Punkt # (h, k) = (0, -3) #
Die Scheitelpunkte sind die Punkte # (h-a, k) = (-7, -3) # und # (h + a, k) = (7, -3) #
Die Geheimnisse sind die Punkte # (h, k-b) = (0, -5) # und # (h, k + b) = (0, -1) #
Die Brennpunkte sind die Punkte # (h-sqrt (a ^ 2-b ^ 2), k) = (-sqrt53, -3) # und # (h + sqrt (a ^ 2-b ^ 2), k) = (sqrt53, -3) #
Die Exzentrizität ist: #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt53 / 7 #