Wie lautet die Gleichung der Normallinie von #f (x) = (x-3) / (x + 4) # bei # x = 3 #?

Antworten:

#y = -7x + 21 #

Erläuterung:

So lange wie #f '(x)! = 0 #die normale Linie von #f (x) # beim # x # kann auf dem Formular geschrieben werden #y = ax + m #, woher #ein# ist die Steigung und # m # ist der Intercept mit dem # y #-Achse (siehe weiter unten, was für den Fall passiert #f '(x) = 0 #). Wenn wir zuerst finden #ein#dann können wir finden # m # durch Beseitigung.

Wir wissen, dass die normale Linie von #f (x) # ist senkrecht zur Tangente von #f (x) # beim # x = 3 #. Deshalb, wenn wir die Steigung von finden können #f (x) # beim # x = 3 #, dann finden wir auch die Steigung der Normallinie bei # x = 3 #.

Bezeichnen Sie die Steigung der Tangente # b #. Ob # a, b! = 0 #, dann # a * b = -1 # (Erklärung siehe weiter unten).

Die Neigung der Tangente um einen Wert # x # ist per definitionem #f '(x) #, die wir anhand der Produktregel (oder Quotientenregel) berechnen können.

#f '(x) = (1) / (x + 4) - (x-3) / (x + 4) ^ 2 = (x + 4) / (x + 4) ^ 2 - (x-3) / (x + 4) ^ 2 = ((x + 4) - (x-3)) / (x + 4) ^ 2 = 7 / (x + 4) ^ 2. #

Deshalb #b = f '(3) = 7/7 ^ 2 = 1/7 #und wir finden die Steigung der normalen Linie durch Lösen # a * b = -1 # zum #ein#, das gibt das
#a = -7 #.

Da geht die normale Linie durch # x = 3 #Wir wissen, dass der Punkt # (3, f (3)) # muss auf der Linie liegen. Auswerten #f (3) = 0 #und das Einfügen in die Gleichung für die normale Linie ergibt das
# 0 = a * 3 + m #.
Einfügen #a = -7 # und lösen für # m # gibt das
#m = 21 #,
und wir haben festgestellt, dass die normale Linie durch gegeben ist
#y = -7x + 21 #.

Kommentar 1: Für den Fall #f (x) = 0 #, die Tangente an #f (x) # ist flach, was bedeutet, dass die Normallinie vertikal ist. Dann müssen wir die allgemeine Gleichung für die Linie verwenden
#py + qx = r #,
die, da die normale linie senkrecht sein muss #p = 0 #. Finden # q # und # r #, füge ein paar ein # x # und # y #-Werte, die Sie kennen, liegen auf der Linie, wie früher.

Kommentar 2: Für den Fall #f (x) # ist an nicht differenzierbar # x #, dann hat die Funktion dort keine normale Linie.

Kommentar 3: Wie für die Darstellung der Formel # a * b = -1 #Sie benötigen entweder Geometrie, Trigonometrie oder lineare Algebra. Hier sind einige Beweise.