Wie bestimmen Sie die Länge einer parametrischen Kurve?

Antworten:

#int_ (f (t_1)) ^ (f (t_2)) sqrt (1 + ((g '(t)) / (f' (t))) ^ 2) f '(t) dt # (in Gedenken an # x #) ODER #int_ (g (t_1)) ^ (g (t_2)) sqrt (1 + ((f '(t)) / (g' (t))) ^ 2) g '(t) dt # (in Gedenken an # y #)

Erläuterung:

Lass die Kurve # C # definiert sein als # x = f (t) # und # y = g (t) #

Dann nehmen Sie die Ableitung in Bezug auf # t #: # dx / dt = f '(t) # und # dy / dt = g '(t) #

# Rightarrow int dx = int f '(t) dt # und #int dy = int g '(t) dt #

und # dy / dx = (g '(t)) / (f' (t)) # und # dx / dy = (f '(t)) / (g' (t)) #

Die Länge des Bogens # L # zwischen # (x_1, y_1) # und # (x_2, y_2) # ist durch die Formel (e) gegeben:
#L = int_ (x_1) ^ (x_2) sqrt (1 + (dy / dx) ^ 2) dx = int_ (y_1) ^ (y_2) sqrt (1 + (dx / dy) ^ 2) dy #

Entsprechend ersetzen:

#L = int_ (f (t_1)) ^ (f (t_2)) sqrt (1 + ((g '(t)) / (f' (t))) ^ 2) f '(t) dt = int_ ( g (t_1)) ^ (g (t_2)) sqrt (1 + ((f '(t)) / (g' (t))) ^ 2) g '(t) dt #

Woher #f (t_i) = x_i # und #g (t_i) = y_i, i = 1,2 #