Wie kann ich das Dreieck von Pascal verwenden, um # (x - 1) ^ 5 # zu erweitern?

Die Antwort ist: # x ^ 5-5x ^ 4 + 10x ^ 3-10x ^ 2 + 5x-1 #

Bei der Erweiterung berücksichtigen wir die allgemeine Form: # (x + y) ^ n #.

Erinnern wir uns daran, dass die erste Reihe von Pascals Dreieck: # (x + y) ^ 0 #. So für # (x-1) ^ 5 #schauen wir uns das an # 6 ^ (th) # Reihe von Pascals Dreieck für die Koeffizienten:

#Farbe (weiß) ((Farbe (schwarz)) ((,,,,, 1 ,,,,,), (,,,, 1,, 1 ,,,,), (,,, 1,, 2, (1, 3,, 3,, 1,), (, 1,, 4,, 6,, 4,, 1,), (Farbe (rot) 1) Farbe (Blau) 5, Farbe (Grün) 10, Farbe (Orange) 10, Farbe (Olive) 5, Farbe (Rosa) 1))) #

Wenn wir expandieren, bekommen wir:

#Farbe (rot) 1 * x ^ 5y ^ 0 + Farbe (blau) 5 * x ^ 4y ^ 1 + Farbe (grün) 10 * x ^ 3y ^ 2 + Farbe (orange) 10 * x ^ 2y ^ 3 + Farbe (Olive) 5 * x ^ 1y ^ 4 + Farbe (pink) 1 * x ^ 0y ^ 5 #

Jetzt ersetzen und vereinfachen wir:

# x ^ 5 + 5x ^ 4 (-1) ^ 1 + 10 * ^ 3 (-1) ^ 2 + 10x ^ 2 (-1) ^ 3 + 5x ^ 1 (-1) ^ 4 + (-1) ^ 5 #
# = x ^ 5-5x ^ 4 + 10x ^ 3-10x ^ 2 + 5x-1 #