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Antworten:

(d)

Erläuterung:

Ob #f (x) = 3 ^ (x (x-2)) # dann

# x = 3 ^ (g (x) (g (x) -2)) # präsentiert die umgekehrte Regel also

#log (x) = g (x) (g (x) -2) log (3) # oder

#g (x) ^ 2-2g (x) -log_3 (x) = 0 # und lösen für #g (x) #

#g (x) = 1pmsqrt (1 + log_3 (x)) #

Jetzt #g (x) = f ^ -1 (x) # aber #g (x) # ist eins bis zwei so #f (x) # ist nicht invertierbar oder definiert, weil wir nicht wissen, in welchem Ergebnis #g (x) # entspricht einem gegebenen # x #

Beigefügt eine grafische Darstellung in Blau #f (x) # und in rot #g (x) #

Hinweis. Ob #f (x) # ist nur für definiert # 1 <x <oo # dann hat es invers und ist
#g (x) = f ^ -1 (x) = 1 + sqrt (1 + log_3 (x)) #

Antworten:

# f ^ -1 (x) = 1 + sqrt (log_3 (x) +1) #

Erläuterung:

Graph {y = (3 ^ (x (x-2)))sqrt (x-2) / sqrt (x-2) [-1, 20, -1, 10]}
Graph von # y = 3 ^ (x (x-2)) # mit # x 2 #*

Erstens müssen wir uns sicher sein # f # hat eine Inverse. Wenn Sie die Grafik oben betrachten, sehen Sie, dass sie beim Test der horizontalen Linie eine inverse Funktion haben sollte.

Um nach seiner Umkehrfunktion zu lösen, müssen wir nach lösen # x # bezüglich # y # im # y = 3 ^ (x (x-2)) # und wechseln # x # und # y #.

Nehmen Sie den Logarithmus mit der Basis #3# auf beiden Seiten: # log_3 (y) = x (x-2) #.

Dies kann als quadratische Gleichung geschrieben und durch Ausfüllen des Quadrats gelöst werden. Schon seit # x ^ 2-2x = log_3 (y) #, # x ^ 2-2x + 1 = log_3 (y) + 1 #.

Die rechte Seite ist grundsätzlich # (x-1) ^ 2 #. Nun nehmen wir die Quadratwurzel von beiden Seiten (erinnern uns an die #+-# sign) zu bekommen # x-1 = + - sqrt (log_3 (y) +1) #. Lösen für # x #, wir bekommen # x = 1 + -sqrt (log_3 (y) +1) #.

In der ursprünglichen Funktion jedoch beide # x # und # y # ist definiert als größer oder gleich #2#. Die einzige Lösung ist # x = 1 + sqrt (log_3 (y) +1) # schon seit # 1-sqrt (log_3 (y) +1) <2 # für alle # y 2 #.

Endlich nach dem Tauschen # x # und # y #erhalten wir die Umkehrfunktion # f ^ -1 (x) = 1 + sqrt (log_3 (x) +1) #.