Wenn # A = # und # B = #, was ist # A * B - || A || || B || #?

Antworten:

#A cdot B - || A || || B || = -34 - 2 cdot sqrt (37 cdot 10) ca. 72,5 #

Erläuterung:

Unsere Vektoren sind

#A = langle -3, 8, -1 klingeln, #
#B = langle 0, -4, 2 rangle. #

Erstens ist es wichtig zu verstehen, wie die Norm ist # || cdot || # ist auf das innere Produkt bezogen. Per Definition,

# || A || ^ 2 = A cdot A. #

Deshalb,

#A cdot B - || A || || B || = A cdot B - sqrt ((A cdot A) (B cdot B)). #

Berechnung #A cdot B #, #A cdot A # und #B cdot B #unter Verwendung der Definition des inneren Produkts in drei Dimensionen, wobei #A_ {i} # ist der #ich#-te Komponente des Vektors #A = langle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} -Rangle #,

#A cdot B = sum_ {i = 1} ^ {3} A_ {i} B_ {i}, #

#A cdot B = -3 cdot 0 + 8 cdot (-4) + (-1) cdot 2 = -34, #

#Acdot A = (-3) ^ 2 + 8 ^ 2 + (-1) ^ 2 = 74, #

#B cdot B = 0 ^ 2 + (-4) ^ 2 + 2 ^ 2 = 20. #

Zurück zu unserem Ausdruck

#A cdot B - sqrt ((A cdot A) (B cdot B)) = -34 - sqrt (74 cdot 20) #
#A cdot B - sqrt ((A cdot A) (B cdot B)) = -34 - 2 cdot sqrt (37 cdot 10) #
#A cdot B - sqrt ((A cdot A) (B cdot B)) ca. -72,5. #

Deshalb,

#A cdot B - || A || || B || = -34 - 2 cdot sqrt (37 cdot 10). #

Geometrisch ist dies ein Maß dafür, wie disaligniert die beiden Vektoren sind, da

# (A cdot B) / (|| A || || B ||) - (|| A || || B ||) / (|| A || || B ||) = cos (Theta) - 1, #

woher # theta # ist der Winkel zwischen den Vektoren und umso näher #A cdot B - || A || || B || # ist zu #0#Je mehr ausgerichtet sind die Vektoren.