Wie beweisen Sie, dass das Integral von ln (sin (x)) im Intervall [0, pi / 2] konvergent ist?

Antworten:

# int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx = pi / 2ln (1/2) #

Erläuterung:

Angenommen, es ist konvergent und setzt Folgendes:

#S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx #

Ersatz # t = pi / 2-x #

# S = -int_ (pi / 2) ^ 0ln (sin (pi / 2-t)) dt = int_0 ^ (pi / 2) ln (cos t) dt #

Die zwei Ausdrücke zusammenfassen:

# 2S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx + int_0 ^ (pi / 2) ln (cos x) dx #

und da das Integral linear ist:

# 2S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx + ln (cos x) dx #

unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen und der Formel für den Sinus des Doppelwinkels:

# 2S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x cos x) dx = int_0 ^ (pi / 2) ln (1 / 2sin (2x)) dx = #

# int_0 ^ (pi / 2) ln (1/2) dx + int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (2x)) dx = #

# = pi / 2ln (1/2) + int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (2x)) dx #

Lassen Sie uns dieses letzte Integral bewerten, indem wir es in zwei halbe Intervalle aufteilen und ersetzen # t = 2x # in der ersten und # t = 2x-pi / 2 # in dieser Sekunde:

# int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (2x)) dx = int_0 ^ (pi / 4) ln (sin (2x)) dx + int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) ln (sin (2x )) dx = #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (t)) dt + 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (t + pi / 2)) dt = #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (t)) dt + 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (Kosten) dt = 1 / 2S + 1 / 2S = S #

Ersetzen Sie dies in der obigen Formel:

# 2S = pi / 2ln (1/2) + S #

das ist:

#S = pi / 2ln (1/2) #