Wie bewerten Sie # 27x ^ 3- (1/8) #?

Dies ist ein Beispiel für den Unterschied der Würfel # (a ^ 3-b ^ 3) = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) # .

Faktor # 27x ^ 3-1 / 8 # .

# a = 3x #
# b = 1/2 #

# (3x-1/2) ((3x) ^ 2 + (3x) (1/2) + (1/2) ^ 2) # =

# (3x-1/2) (9x ^ 2 + (3x) / 2 + 1/4) #

Beachte das #27#, # x ^ 3 # und #1/8# sind alle Würfel. Wenn Sie komplexe Zahlen als Koeffizienten zulassen würden, könnte dies vollständig als berücksichtigt werden # (3x - 1/2) (3 Omega x - 1/2) (3 Omega ^ 2x - 1/2) #, woher #Omega# ist die komplexe Kubikwurzel von 1.

In diesem Fall interessieren Sie sich nur für reelle Zahlen, nicht für komplexe Zahlen. Der einzige lineare Faktor ist also # (3x - 1/2) #. Der andere Faktor ist # (9x ^ 2 + (3/2) x + 1/4) #.

Hier finden Sie einige Möglichkeiten, diesen quadratischen Faktor zu finden:

(1) Verwendung komplexer Arithmetik:
# (3 omega x - 1/2) (3 omega 2x - 1/2) = 9 omega ^ 3 x ^ 2 - (3/2) (omega + omega ^ 2) x + 1/4 = 9x ^ 2 + (3/2) x + 1/4 #
(schon seit # omega ^ 3 = 1 # und #omega + omega ^ 2 = -1 #).

(2) Löse mit realer Arithmetik:
# 27x ^ 3 - 1/8 = (3x - 1/2) (ax ^ 2 + bx + c) #
# = 3ax ^ 3 + (3b - (1/2) a) x ^ 2 + (3c - (1/2) b) x - (1/2) c #
Beim Vergleich von Koeffizienten erhalten wir:
# 3a = 27 #
# (3b - (1/2) a) = 0 #
# (3c - (1/2) b) = 0 #
# (1/2) c = 1/8 #
nachgeben #a = 9 #, #b = 3/2 # und #c = 1/4 #.